Le principe de Hasse pour les espaces homogènes : réduction au cas des stabilisateurs finis (The Hasse principle for homogeneous spaces: reduction to the case of finite stabilizers)

Abstract

Nous montrons, pour une grande famille de propriétés $P$ des espaces homogènes, que $P$ vaut pour tout espace homogène d'un groupe linéaire connexe dès qu'elle vaut pour les espaces homogènes de ${\mathrm{SL}}_n$ à stabilisateur fini. Nous réduisons notamment à ce cas particulier la vérification d'une importante conjecture de Colliot-Thélène sur l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse et à l'approximation faible. Des travaux récents de Harpaz et Wittenberg montrent que le résultat principal s'applique également à la conjecture analogue (dite conjecture (E)) pour les zéro-cycles. We prove, for a wide family of properties $P$ of homogeneous spaces, that if $P$ is satisfied for homogeneous spaces of ${\mathrm{SL}}_n$ with finite stabilizers, then $P$ is satisfied for all homogeneous spaces of linear connected groups. In particular, we reduce to this particular case the verification of an important conjecture by Colliot-Thélène on the Brauer-Manin obstruction to the Hasse principle and to weak approximation. Recent work by Harpaz and Wittenberg show that our main result can also be applied to the analog conjecture on zero-cycles (known as conjecture (E)).

30 pages, in French. V4: generalized Sections 2, 3 and 4 to perfect fields assuming that all algebraic groups are smooth (with practically no changes!); other minor changes

References in corpus (1)

• The rationality problem for fields of invariants under linear algebraic groups (with special regards to the Brauer group)

Cited by in corpus (8)

• The Massey vanishing conjecture for number fields
• Real graded Lie algebras, Galois cohomology, and classification of trivectors in R^9
• Arithmetics of homogeneous spaces over $p$-adic function fields
• On homogeneous spaces with finite anti-solvable stabilizers
• Local-global principles for homogeneous spaces over some two-dimensional geometric global fields
• Non-abelian descent types
• On the descent conjecture for rational points and zero-cycles
• Groupes de Brauer algébriques modulo les constants d'espaces homogènes et leurs compactifications