Cohomologie non ramifiée et conjecture de Hodge entière

Abstract

Building upon the Bloch-Kato conjecture in Milnor K-theory, we relate the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients with a group which measures the failure of the integral Hodge conjecture in degree 4. As a first consequence, a geometric theorem of the second-named author implies that the third unramified cohomology group with Q/Z coefficients vanishes on all uniruled threefolds. As a second consequence, a 1989 example by Ojanguren and the first named author implies that the integral Hodge conjecture in degree 4 fails for unirational varieties of dimension at least 6. For certain classes of threefolds fibered over a curve, we establish a relation between the integral Hodge conjecture and the computation of the index of the generic fibre. En nous appuyant sur la conjecture de Bloch-Kato en K-théorie de Milnor, nous établissons un lien général entre le défaut de la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 et le troisième groupe de cohomologie non ramifié à coefficients Q/Z. Ceci permet de montrer que sur un solide uniréglé le troisième groupe de cohomologie non ramifié à coefficients Q/Z s'annule, ce que la K-théorie algébrique ne permet d'obtenir que dans certains cas. Ceci permet à l'inverse de déduire d'exemples ayant leur source en K-théorie que la conjecture de Hodge entière pour la cohomologie de degré 4 peut être en défaut pour les variétés rationnellement connexes. Pour certaines familles à un paramètre de surfaces, on établit un lien entre la conjecture de Hodge entière et l'indice de la fibre générique.

Final version, 48 pages, to appear in Duke Mathematical Journal

Cited by in corpus (34)

• Unirational threefolds with no universal codimension 2 cycle
• On the fibration method for zero-cycles and rational points
• Stably irrational hypersurfaces of small slopes
• Zéro-cycles sur les fibrations au-dessus d'une courbe de genre quelconque
• On the integral Hodge conjecture for real varieties, I
• On the rationality problem for quadric bundles
• Index of varieties over Henselian fields and Euler characteristic of coherent sheaves
• The Clemens-Griffiths method over non-closed fields
• On the integral Hodge conjecture for real varieties, II
• On the cycle class map for zero-cycles over local fields
• Rationality problems and conjectures of Milnor and Bloch-Kato
• Remarks on curve classes on rationally connected varieties
• La conjecture de Tate entière pour les cubiques de dimension quatre
• Two coniveau filtrations
• Integral Hodge conjecture for Fermat varieties
• Torsion orders of Fano hypersurfaces
• (Stable) rationality is not deformation invariant
• On the coniveau of rationally connected threefolds
• On Hilbert's 17th problem in low degree
• On the rationality of quadric surface bundles
• A pencil of Enriques surfaces with non-algebraic integral Hodge classes
• Cycles de codimension 2 et H^3 non ramifié pour les variétés sur les corps finis
• On the integral Hodge conjecture for varieties with trivial Chow group
• Cohomologie non ramifiée de degré 3 : variétés cellulaires et surfaces de del Pezzo de degré au moins 5
• Steenrod operations and algebraic classes
• Noether's problem and rationality problem for multiplicative invariant fields: a survey
• Unramified cohomology, integral coniveau filtration and Griffiths group
• Motivic classes of classifying stacks of finite groups and unramified cohomology
• On the failure of the integral Hodge/Tate conjecture for products with projective hypersurfaces
• 2-cycles sur les hypersurfaces cubiques de dimension 5
• Troisième groupe de cohomologie non ramifiée des hypersurfaces de Fano
• Torsion birational motives of surfaces and unramified cohomology
• Chow groups of Gushel-Mukai fivefolds
• Étale degree map and 0-cycles