Perte d'information dans les transformations du jeu de pile ou face

Abstract

Soit $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbf{Z}}$ un jeu de pile ou face, c'est-à-dire une suite de variables aléatoires indépendantes de loi $({\delta }_{-1}+{\delta }_1)/2$, et $(H_n{)}_{n\in \mathbf{Z}}$ un processus à valeurs dans $\{-1,1\}$, prévisible dans la filtration naturelle de $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbf{Z}}$. Alors $(H_n{\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbf{Z}}$ est encore un jeu de pile ou face, dont la filtration naturelle est contenue dans celle de $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbf{Z}}$. Le but de l'article est d'obtenir des conditions pour que ces filtrations soient égales et de décrire l'écart entre ces filtrations lorsqu'elles sont différentes. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas des transformations homogènes, où le processus $(H_n{\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbf{Z}}$ est une fonctionnelle de $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbf{Z}}$ qui commute avec les translations. Nous étudions de façon approfondie les transformations homogènes de longueur finie, où $H_n$ est de la forme $\varphi ({\epsilon }_{n-d},...,{\epsilon }_{n-1})$ avec $d\in \mathbf{N}$ et $\varphi :\{-1;1{\}}^d\to \{-1;1\}$ fixés.

Published at http://dx.doi.org/10.1214/009117906000000124 in the Annals of Probability (http://www.imstat.org/aop/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)