$(\varphi ,\tau )$-modules différentiels et représentations potentiellement semi-stables

Abstract

Soit $K$ un corps $p$-adique et soit $V$ une représentation $p$-adique de ${\mathcal{G}}_K=\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$. La surconvergence des $(\varphi ,\tau )$-modules nous permet d'attacher à $V$ un $\varphi$-module différentiel à connexion $D_{\tau ,\mathrm{rig}}^{†}(V)$ sur l'anneau de Robba ${\mathbf{B}}_{\tau ,\mathrm{rig},K}^{†}$. On montre dans cet article comment retrouver les invariants $D_{\mathrm{cris}}(V)$ et $D_{\mathrm{st}}(V)$ à partir de $D_{\tau ,\mathrm{rig}}^{†}(V)$, et comment caractériser les représentations potentiellement semi-stables, ainsi que celles de $E$-hauteur finie, à partir de la connexion. Let $K$ be a $p$-adic field and let $V$ be a $p$-adic representation of ${\mathcal{G}}_K=\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$. The overconvergence of $(\varphi ,\tau )$-modules allows us to attach to $V$ a differential $\varphi$-module $D_{\tau ,\mathrm{rig}}^{†}(V)$ on the Robba ring ${\mathbf{B}}_{\tau ,\mathrm{rig},K}^{†}$ that comes equipped with a connection. We show in this paper how to recover the invariants $D_{\mathrm{cris}}(V)$ and $D_{\mathrm{st}}(V)$ from $D_{\tau ,\mathrm{rig}}^{†}(V)$, and give a characterization of both potentially semi-stable representations of ${\mathcal{G}}_K$ and finite $E$-height representations in terms of the connection operator.

in French