L'espace adélique d'un tore sur un corps de fonctions

Abstract

Let $k$ be a field of characteristic 0 and let $K$ be the function field of a smooth projective geometrically integral $k$-curve $X$. Let $T$ be a $K$-torus. In this article, we aim at studying the space of adelic points $T(S,{\mathbb{A}}_K)$ of $T$ outside a finite set $S$ of closed points of $X$. We start by proving that the group $T(K)$ of rational points of $T$ is always discrete (hence closed) in $T(S,{\mathbb{A}}_K)$. We then describe the quotient $T(\varnothing ,{\mathbb{A}}_K)/T(K)$ in each of the following three cases: $k$ is an algebraically closed field, $k$ is the field of Laurent series $\mathbb{C}((t))$, and $k$ is a $p$-adic field. Soient $k$ un corps de caractéristique 0 et $K$ le corps des fonctions d'une $k$-courbe projective lisse géométriquement intègre $X$. Soit $T$ un $K$-tore. Dans cet article, on cherche à étudier l'espace des points adéliques $T(S,{\mathbb{A}}_K)$ de $T$ hors d'un ensemble fini $S$ de points fermés de $X$. On commence par montrer que le groupe $T(K)$ des points rationnels de $T$ est toujours fermé discret dans $T(S,{\mathbb{A}}_K)$. On décrit ensuite le quotient $T(\varnothing ,{\mathbb{A}}_K)/T(K)$ dans chacun des trois cas suivants: $k$ corps algébriquement clos, $k=\mathbb{C}((t))$ et $k$ corps $p$-adique.

30 pages, in French. Theorem 4.5 has been improved. Section 4.2 has been added