Sur une conjecture de Kato et Kuzumaki concernant les hypersurfaces de Fano
arXiv:1308.3024 · doi:10.1215/00127094-3129488
Abstract
Nous montrons que les corps p-adiques et les corps de nombres totalement imaginaires vérifient la propriété C_1^1 conjecturée par Kato et Kuzumaki en 1986. Autrement dit, si k est l'un de ces corps et f(x_0, ..., x_n) est un polynôme homogène de degré au plus n à coefficients dans k, tout élément de k s'écrit comme produit de normes depuis des extensions finies de k dans lesquelles f admet un zéro non trivial. Nous établissons aussi la conjecture d'Ax sur les corps pseudo-algébriquement clos parfaits pour les corps dont le groupe de Galois absolu est un pro-p-groupe. ----- We prove that p-adic fields as well as totally imaginary number fields satisfy the C_1^1 property conjectured by Kato and Kuzumaki in 1986. In other words, if k denotes such a field and f(x_0, ..., x_n) is a homogeneous polynomial of degree at most n with coefficients in k, every element of k may be written as a product of norms from finite extensions of k in which f possesses a nontrivial zero. As a by-product of the proof, we also establish Ax's conjecture about perfect pseudo-algebraically closed fields for fields whose absolute Galois group is a pro-p-group.
20 pages, in French; slightly improved exposition, minor typos corrected, final version