La conjecture de Casas Alvero pour les degrés $5p^e$

Abstract

According to Casas Alvero conjecture, if a one variable polynomial of degree $n$ over a field of characteristic 0 is not prime with each of the $n-1$ first derivees, then it is of the form $c(X-r{)}^n$. Let $p$ be a prime number and an integer $e$, the conjecture is showed to be true for polynomials of degree $p^e,2p^e,3p^e(pneq2)and4p^e(pneq3,5,7)$. In this work we show that the conjecture is true for polynomials of degree $5p^e(pneq2,3,7,11,131,193,599,3541,8009)$ . It also corrects an error in Draisma and Jong (2011) for the polynomials of degree $4p^e$ ----- Selon la conjecture de Casas Alvero, si un polynôme á une variable de degré $n$ sur un corps commutatif de caractéristique 0 est non premier avec chacune de ses $n-1$ premiéres dérivés, alors il est de forme $c(X-r{)}^n$. Soient $p$ un nombre premier et $e$ un entier, la conjecture a été démontrée pour les polynômes de degré $p^e,2p^e,3p^e(p\ne 2)et4p^e(p\ne 3,5,7)$. Dans ce travail on montre que la conjecture est vrai pour les polynômes de degré $5p^e(p\ne 2,3,7,11,131,193,599,3541,8009)$. On corrige aussi une erreur dans Draisma et Jong (2011) pour les degré $4p^e$

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