Normalité projective des varétés magnifiques de rang 1

Abstract

Let $L$ and $L^{\prime }$ be two invertible sheaves over a projective variety $X$. We suppose that $L$ and $L^{\prime }$ are generated by their global section spaces $\Gamma (L)$ and $\Gamma (L^{\prime })$. We prove in this article that the morphism : \[Γ(L) \otimes Γ(L') \to Γ(L \otimes L')\] is surjective, in the case where $X$ is a rank one wonderful variety. In particular, the cone over a rank one wonderful variety defined by a very ample invertible sheaf is always normal. Soient $L$ et $L^{\prime }$ deux faisceaux inversibles sur une variété projective $X$. On suppose que $L$ et $L^{\prime }$ sont engendrés par leurs espaces de sections globales $\Gamma (L)$ et $\Gamma (L^{\prime })$. On démontre dans cet article que le morphisme : \[Γ(L) \otimes Γ(L') \to Γ(L \otimes L')\] est surjectif, dans le cas où $X$ est une variété magnifique de rang 1. En particulier, le cône au-dessus d'une variété magnifique $X$ de rang 1 défini par un faisceau inversible très ample est toujours normal.

15 pages, version 2 : correction du lemme 2.1, une référence ajoutée