Sur l'effectivite du theoreme de Siegel et la conjecture abc

Abstract

Nous montrons qu'un raffinement du théorème de Siegel sur les points entiers de courbes algébriques impliquerait la conjecture abc de Masser-Oesterlé. Nous formulons une hypothèse "Siegel uniforme" qui est une majoration de la hauteur des points S-entiers de la courbe, en termes du corps de rationalité et de l'ensemble de places S. La validité de l'hypothèse pour une quelconque courbe algébrique de caractéristique d'Euler-Poincaré strictement négative, impliquerait une version de la conjecture abc. Ceci étend aux points S-entiers des résultats précédents de L. Moret-Bailly, et est en quelque sorte, un énoncé réciproque de ce que nous avons montré dans math.NT/0408168, en suivant les idées proposées par N. Elkies. Le principal outil géométrique employé est un théorème de G.V. Belyi. Nous montrons aussi quelques versions inconditionnelles de ces énoncés : un résultat allant dans le sens de la conjecture abc, valable sur tout corps de nombres, ainsi que des bornes pour la hauteur des solutions en S-entiers de certaines équations diophantiennes classiques.

23 pages; french; revised version to appear in Journal of Number Theory. Some changes in the introduction and the introduction of section 3, especially in the style. Other minor modifications: lemmas 2.4 and 2.5, in sections 5 and 6 and in the bibliography