Der Whitneysche Fortsetzungssatz für vektorwertige Funktionen

Abstract

Let $k\in {\mathbb{N}}_0\cup \{\infty \}$. According to Whitney's extension theorem, each real-valued Whitney $k$-Jet on a closed subset $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ can be extended to a $C^k$-function on ${\mathbb{R}}^n$. Based on Whitney's original work, we prove analogous results for jets and functions with values in a real Hausdorff locally convex topological vector space $E$. In the case $k<\infty$, we obtain a continious linear extension operator, that is a continious linear right inverse of the map $C^k({\mathbb{R}}^n,E)\to {\mathcal{E}}^k(A,E),f\mapsto (({\partial }^{\alpha }f){|}_A{)}_{|\alpha |\le k}.$ Assuming that $E$ ist metrizable, we also succeed in extending Whitney $\infty$-jets. Given a $C^k$-manifold $M$ (which may have a "rough boundary"), we deal with the problem how to extend Whitney $k$-Jets defined on closed subsets $A\subseteq M$ to $C^k$-functions on $M$. In particular, we show for $k<\infty$ that the restriction map $C^k(M,E)\to C^k(A,E),f\mapsto f{|}_A$ has a continuous linear right inverse for each closed submanifold $A\subseteq M$ if $M$ is $C^k$-paracompact and $A$ locally compact, or if $M$ is regular and $A$ compact. ----- Sei $k\in {\mathbb{N}}_0\cup \{\infty \}$. Der Whitneysche Fortsetzungssatz besagt, dass sich jeder reellwertige Whitneysche $k$-Jet auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ zu einer $C^k$-Funktion auf ${\mathbb{R}}^n$ fortsetzen lässt. Ausgehend von Whitneys Originalarbeit beweisen wir analoge Resultate für Jets und Funktionen mit Werten in einem reellen Hausdorffschen lokalkonvexen topologischen Vektorraum $E$. Im Falle $k<\infty$ erhalten wir einen stetigen linearen Fortsetzungsoperator, also eine stetige lineare Rechtsinverse der Abbildung $C^k({\mathbb{R}}^n,E)\to {\mathcal{E}}^k(A,E),f\mapsto (({\partial }^{\alpha }f){|}_A{)}_{|\alpha |\le k}.$ Die Fortsetzung von $E$-wertigen Whitneyschen $\infty$-Jets gelingt uns unter der Annahme, dass $E$ metrisierbar ist. Sei $M$ eine endlichdimensionale $C^k$-Mannigfaltigkeit (welche einen "rauen Rand" haben mag). Wir befassen uns mit der Frage, wie man Whitneysche $k$-Jets, die auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A\subseteq M$ definiert sind, zu $C^k$-Funktionen auf $M$ fortsetzen kann. Insbesondere beweisen wir für $k<\infty$ dass die Einschränkung $C^k(M,E)\to C^k(A,E),f\mapsto f{|}_A$ für jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $A\subseteq M$ eine stetige lineare Rechtsinverse besitzt, wenn $M$ $C^k$-parakompakt und $A$ lokalkompakt, oder $M$ regulär und $A$ kompakt ist.

70 pages, in German