Boundedness of Fano type fibrations

Abstract

In this paper, we prove various results on boundedness and singularities of Fano fibrations and of Fano type fibrations. A Fano fibration is a projective morphism $X\to Z$ of algebraic varieties with connected fibres such that $X$ is Fano over $Z$, that is, $X$ has "good" singularities and $-K_X$ is ample over $Z$. A Fano type fibration is similarly defined where $X$ is assumed to be close to being Fano over $Z$. This class includes many central ingredients of birational geometry such as Fano varieties, Mori fibre spaces, flipping and divisorial contractions, crepant models, germs of singularities, etc. We develop the theory in the more general framework of log Calabi-Yau fibrations. Dans cet article, nous prouvons divers résultats sur les limites et les singularités de fibrations de Fano et les fibrations de type Fano. Une fibration de Fano est un morphisme projectif $X\to Z$ de variétés algébriques à fibres connexes tel que $X$ est Fano sur $Z$, c'est-à-dire que $X$ a de "bonnes" singularités et $-K_X$ est ample sur $Z$. Une fibration de type Fano est définie de façon similaire quand $X$ est supposé être proche d'être Fano sur $Z$. Cette classe comprend de nombreux ingrédients centraux de géométrie birationnelle tels que les variétés de fano, les espaces de fibres Mori, le flip et les contractions divisorielles, les modèles répétiteurs, les germes de singularités, etc. Nous développons la théorie dans le cadre plus général des log-fibrations de Calabi-Yau.

To appear in Ann. Sci. ENS, 48 pages; this paper consists of the results of arXiv:1811.10709 on Fano type fibrations; the latter is kept because it contains other results and there are many references to it