On the Stabilisation of Rational Surface Maps

Abstract

The dynamics of a rational surface map $f:X⇢X$ are easier to analyse when $f$ is `algebraically stable'. Here we investigate when and how this condition can be achieved by conjugating $f$ with a birational change of coordinates. We show that if this can be done with a birational morphism, then there is a minimal such conjugacy. For birational $f$ we also show that repeatedly lifting $f$ to its graph gives a stable conjugacy. Finally, we give an example in which $f$ can be birationally conjugated to a stable map, but the conjugacy cannot be achieved solely by blowing up. La dynamique d'une application rationnelle $f:X⇢X$ sur une surface est plus simple à analyser lorsque $f$ est `algébriquement stable'. Dans cet article nous étudions comment la stabilité peut être réalisée en conjuguant $f$ par un changement de variable birationnel. Nous montrons que si cela peut être réalisée avec une morphisme birationnelle, il existe une telle conjugaison minimale. Pour $f$ birationnelle, nous montrons aussi que l'on obtient une conjugaison stable par relévement successif au graphe. Nous donnons enfin un exemple dans lequel $f$ peut être conjuguée birationnellement à une application stable, mais la conjuguée ne peut pas être obtenue uniquement par éclatement.

Notes: 24 pages. Final version, to appear in the Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Expanded upon previous versions to give a certain universal property for rational maps (not only birational ones), to consider the notion of "eventual algebraic stability", and to include new examples