Zéro-cycles sur les surfaces de del Pezzo (Variations sur un thème de Daniel Coray)

Abstract

In 1974, D. Coray showed that on a smooth cubic surface with a closed point of degree prime to 3 there exists such a point of degree 1, 4 or 10. We first show how a combination of generisation, specialisation, Bertini theorems and large fields avoids considerations of special cases in his argument. For smooth cubic surfaces with a rational point, we show that any zero-cycle of degree at least 10 is rationally equivalent to an effective cycle. We establish analogues of these results for del Pezzo surfaces of degree 2 and of degree 1. For smooth cubic surfaces without a rational point, we relate the question whether there exists a degree 3 point which is not on a line to the question whether rational points are dense on a del Pezzo surface of degree 1. ---- Une surface cubique lisse qui possède un point fermé de degré premier à 3 possède un tel point de degré 1, 4 ou 10 (Coray, 1974). Un mélange de générisation, de spécialisation, de théorèmes de Bertini et d'utilisation des corps fertiles donne de la souplesse à sa méthode. Pour les surfaces cubiques avec un point rationnel, on montre que tout zéro-cycle de degré au moins 10 est rationnellement équivalent à un zéro-cycle effectif. On établit l'analogue de ces résultats pour les surfaces de del Pezzo de degré 2 et de degré 1. On discute l'existence de points fermés de degré 3 non alignés sur une surface cubique sans point rationnel. On la relie à la question de la densité des points rationnels sur une surface de del Pezzo de degré 1.

27 pages, in French. In Version v3, the introduction has been expanded to put the results into perspective. For arbitrary geometrically rational surfaces, two general effectivity results for zero cycles are now given, with bounds simple functions of the square of the canonical class. To appear in L'Enseignement mathématique