Easy Proof of Three Recursive $\pi$-Algorithms -- Einfacher Beweis dreier rekursiver $\pi$-Algorithmen

Abstract

This paper consists of three independent parts: First we use only elementary algebra to prove that the quartic algorithm of the Borwein brothers has exactly the same output as the Brent-Salamin algorithm, but that the latter needs twice as many iterations. Second we use integral calculus to prove that the Brent-Salamin algorithm approximates $\pi$. Combining these results proves that the Borwein brothers' quartic algorithm also approximates $\pi$. Third, we prove the quadratic convergence of the Brent-Salamin algorithm, which also proves the quartic convergence of Borwein's algorithm. -- -- Dieses Paper besteht aus drei unabhängigen Teilen: Erstens beweisen wir mit elementarer Algebra, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung die gleichen Ergebnisse liefert wie der Brent-Salamin-Algorithmus, wobei letzterer doppelt so viele Iterationen benötigt. Zweitens beweisen wir mit Integralrechnung, dass der Brent-Salamin-Algorithmus gegen $\pi$ konvergiert. Hieraus folgt, dass der Borwein-Algorithmus vierter Ordnung ebenfalls gegen $\pi$ konvergiert. Drittens beweisen wir die quadratische Konvergenz des Brent-Salamin-Algorithmus und somit auch die quartische Konvergenz des Borwein-Algorithmus.

arXiv commentbilingual: English (14 pages) & German (14 pages); v2: added Remark 1.2 & removed typo; v3: updated Remark 3.2 & 3.3