Partial sums of the cotangent function

Abstract

Nous prouvons l'existence de formules de réciprocité pour des sommes de la forme ${\sum }_{m=1}^{k-1}f(\frac{m}{k})\cot (\pi \frac{mh}{k})$, où $f$ est une fonction $C^1$ par morceaux, qui met en évidence un phénomène d'alternance qui n'apparaît pas dans le cas classique où $f(x)=x$. Nous déduisons des majorations de ces sommes en termes du développement en fraction continue de $h/k$. We prove the existence of reciprocity formulae for sums of the form ${\sum }_{m=1}^{k-1}f(\frac{m}{k})\cot (\pi \frac{mh}{k})$ where $f$ is a piecewise $C^1$ function, featuring an alternating phenomenon not visible in the classical case where $f(x)=x$. We deduce bounds for these sums in terms of the continued fraction expansion of $h/k$.