Modules projectifs de type fini, applications linéaires croisées et inverses généralisés

Abstract

We give a general theory of generalised inverses and we explain the link with the theory of finitely generated projective modules. All the paper is written in constrctive mathematics in Bishop style. So all results do have a clear algorithmic content. We give also a complexity analysis of the algorihms corresponding to the main theorems. Here is a more detailed abstract in french: D'une part, nous développons la théorie générale des inverses généralisés de matrices en la mettant en rapport avec la théorie constructive des modules projectifs de type fini. D'autre part nous précisons certains aspects de cette théorie liés au calcul formel et à l'analyse numérique matricielle. Nous démontrons en particulier qu'on peut tester si un $\mathbf{A}$-module de présentation finie est projectif et calculer une matrice de projection correspondante "en temps polynomial". Plus précisément pour une matrice $A\in {\mathbf{A}}^{m\times n}$ on peut décider s'il existe un inverse généralisé $B$ pour $A$ (i.e. une matrice $B$ vérifiant $ABA=A$ et $BAB=B$) et, en cas de réponse positive, calculer un tel inverse généralisé par un algorithme qui utilise $O(p^6{q}^2)$ opérations arithmétiques (avec $p=\inf (m,n)$, $q=\sup (m,n)$) et un nombre polynomial de tests d'appartenance d'un élément à un idéal engendré par "un petit nombre d'éléments".

in French. version plus détaillée de l'article paru au Journal of Algebra {\bf 303} (2006) 450--475