Nouvelles conditions pour l'inexistence des nombres parfaits impairs

Abstract

We will show the two following results: If there existe an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{{\alpha }_1}\dots p_k^{{\alpha }_k}{q}^{\beta }$, where the ${\alpha }_i$ are even, the $\beta$ are odd and $q\equiv 5\mathrm{mod}8$. Then there is at least one $p_i$, $1\le i\le k$ that is not a square in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. More precisely there is an odd number of $p_i$ that are not squares in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. If there exist an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{{\alpha }_1}\dots p_k^{{\alpha }_k}{q}^{\beta }$, where the ${\alpha }_i$ are even, the $\beta$ are odd and $p_{k+1}\equiv 1\mathrm{mod}8$. Then at least one $p_i$, $1\le i\le k+1$ is a non zero square in at least one $\mathbb{Z}/p_j\mathbb{Z}$, $1\le j\le k+1$. Contains an appendix of known results. ----- Un nombre, $n$, est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres plus 1. Par exemple $6=1+2+3$. Dans ce document, les deux propositions suivantes seront démontrées: S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de décomposition en nombre premier $n=p_1^{{\alpha }_1}\dots p_k^{{\alpha }_k}{q}^{\beta }$, où les ${\alpha }_i$ sont pairs, $\beta$ est impair et $q\equiv 5\mathrm{mod}8$. Alors, au moins un $p_i$, $1\le i\le k$ n'est pas un carré dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. Plus précisément un nombre impair de $p_i$ ne sont pas des carrés dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de décomposition en nombre premier $n=p_1^{{\alpha }_1}\dots p_k^{{\alpha }_k}{q}^{\beta }$, où les ${\alpha }_i$ sont pairs, $\beta$ est impair et $p_{k+1}\equiv 1\mathrm{mod}8$. Alors au moins un $p_i$, $1\le i\le k+1$ est un carré non nul dans au moins un $\mathbb{Z}/p_j\mathbb{Z}$, $1\le j\le k+1$. Contiens une annexe contenant les résultats déjà connus et des preuves que j'en ai faites.

13 pages, in French, dont une annexe de 7 pages. Article on a new criteria for the inexistance of odd perfect numbers