Traveling fronts in space-time periodic media

Abstract

This paper is concerned with the existence of pulsating traveling fronts for the equation: ${\partial }_{t}u-\nabla \cdot (A(t,x)\nabla u)+q(t,x)\cdot \nabla u=f(t,x,u)$, (1) where the diffusion matrix $A$, the advection term $q$ and the reaction term $f$ are periodic in $t$ and $x$. We prove that there exist some speeds $c^{\ast }$ and $c^{\ast \ast }$ such that there exists a pulsating traveling front of speed $c$ for all $c\ge c^{\ast \ast }$ and that there exists no such front of speed $c<c^{\ast }$. We also give some spreading properties for front-like initial data. In the case of a KPP-type reaction term, we prove that $c^{\ast }=c^{\ast \ast }$ and we characterize this speed with the help of a family of eigenvalues associated with the equation. If $f$ is concave with respect to $u$, we prove some Lipschitz continuity for the profile of the pulsating traveling front. Cet articl{é} etudie l'existence de fronts pulsatoires pour l'équation : ${\partial }_{t}u-\nabla \cdot (A(t,x)\nabla u)+q(t,x)\cdot \nabla u=f(t,x,u)$, (2) où la matrice de diffusion A, le terme d'advection $q$ et le terme de r{é}action $f$ sont p{é}riodiques en $t$ et en $x$. Nous prouvons l'existence de deux vitesses $c^{\ast }$ et $c^{\ast \ast }$ telles qu'il existe un front pulsatoire de vitesse $c$ pour tout $c\ge c^{\ast \ast }$ et qu'il n'existe pas de tel front de vitesse $c<c^{\ast }$. Nous donnons egalement des propri{é}t{é}s de spreading pour des donn{é}es initiales ressemblant a des fronts. Dans le cas d'un terme de r{é}action de type KPP, nous prouvons que $c^{\ast }=c^{\ast \ast }$ et nous caract{é}risons cette vitess{è} a l'aide d'une famille de valeurs propres associ{é}{è} a l'équation. Si $f$ est concave en $u$, nous montrons que le profil du front pulsatoire construit est lipschitzien.

References in corpus (1)

• Traveling waves in a one-dimensional random medium