Dualité et principe local-global sur des corps locaux de dimension 2

Abstract

Let $k$ be an algebraically closed field, a finite field or a $p$-adic field. Let $K_0=k((x,y))$ be the field of Laurent series in two variables over $k$. We define Tate-Shafarevich groups of a commutative group scheme over $K_0$ via cohomology classes locally trivial at each completion of $K_0$ coming from a codimension 1 point of $\text{Spec}k[[x,y]]$. We establish duality theorems between Tate-Shafarevich groups for finite groups schemes and for tori. We apply these results to the study of the obstruction to the local-global principle for $K_0$-torsors under a connected linear algebraic group, answering in that way a question of Colliot-Thélène, Parimala and Suresh, and to the weak approximation for tori over $K_0$. Soit $k$ un corps algébriquement clos, un corps fini, ou encore un corps $p$-adique. Soit $K_0=k((x,y))$ le corps des séries de Laurent à deux variables sur $k$. On définit les groupes de Tate-Shafarevich d'un $K_0$-schéma en groupes commutatif en considérant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque complété de $K_0$ provenant d'un point codimension 1 de $\text{Spec}k[[x,y]]$. On établit des théorèmes de dualité arithmétique entre des groupes de Tate-Shafarevich pour les modules finis et pour les tores. On applique ces résultats à l'étude du principe local-global pour les $K_0$-torseurs sous un groupe linéaire connexe, répondant ainsi à une question de Colliot-Thélène, Parimala et Suresh, ainsi qu'à l'approximation faible pour les tores sur $K_0$.

38 pages, in French