Variétés abéliennes sur les corps de fonctions de courbes sur des corps locaux supérieurs

Abstract

Let $k$ be a higher-dimensional local field and $X$ be a smooth projective geometrically integral curve over $k$. Let $K$ be the function field of $X$. We define Tate-Shafarevich groups of an abelian variety via cohomology classes locally trivial at each completion of $K$ coming from a closed point of $X$. We prove local duality theorems for abelian varieties over $k$, as well as global duality theorems for Tate-Shafarevich groups of abelian varieties over $K$. Soient $k$ un corps local supérieur et $X$ une courbe projective lisse géométriquement intègre de corps de fonctions $K$. On définit les groupes de Tate-Shafarevich d'une variété abélienne en considérant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque complété de $K$ provenant d'un point fermé de $X$. On établit des théorèmes de dualité locale pour les variétés abéliennes sur $k$, ainsi que des théorèmes de dualité globale pour les groupes de Tate-Shafarevich des variétés abéliennes sur $K$.

arXiv comment60 pages, in French