Fonction complexité associée à une application ergodique du tore

Abstract

In this article we give the optimal lower bound for the complexity function of a planar translation which induces an ergodic rotation of the torus ${\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$. In addition, we give an explicit calculation of this complexity for the application $(x,y)\mapsto (x+1/{\varphi }^2,y+x-1/(2{\varphi }^3))$, where $\varphi$ is the golden mean. Nous proposons dans ce travail de minorer de manière optimale la fonction complexité associée à une translation du plan, qui induit une rotation ergodique du tore ${\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2$. De plus, nous donnons un calcul explicite de cette complexité pour l'application $(x,y)\mapsto (x+1/{\varphi }^2,y+x-1/(2{\varphi }^3))$, où $\varphi$ désigne le nombre d'or.

16 pages, 3 figures. To appear in the Bulletin of the London Mathematical Society