Measure-theoretic chaos (Chaos au sens de la mesure)
arXiv:1111.2420 · doi:10.1017/etds.2012.117
Abstract
We define new isomorphism-invariants for ergodic measure-preserving systems on standard probability spaces, called measure-theoretic chaos and measure-theoretic chaos. These notions are analogs of the topological chaoses {\rm DC2} and its slightly stronger version (which we denote by {\rm DC}{\small}). We prove that: 1. If a \tl\ system is measure-theoretically (measure-theoretically) chaotic with respect to at least one of its ergodic measures then it is \tl ly {\rm DC2} ({\rm DC}{\small}) chaotic. 2. Every ergodic system with positive Kolmogorov--Sinai entropy is measure-theoretically chaotic (even in a bit stronger uniform sense). We provide an example showing that the latter statement cannot be reversed, a system of entropy zero with uniform measure-theoretic chaos. \bigskip \centerline{\bf Résumé} Nous introduisons de nouveaux invariants pour les systèmes dynamiques définis sur des espaces probabilisés standards, appelés respectivement {\rm chaos mesuré} et {\rm chaos mesuré}. Ces notions sont des analogues du chaos topologique {\rm DC2} et de l'une de ses variantes, renforcée, que nous appelons {\rm DC}{\small}. Nous montrons d'une part que si un système dynamique topologique est chaotique (resp. chaotique) au sens da la mesure relativement à\ l'une de ses mesures invariantes ergodiques, alors il l'est du point de vue topologique au sens correspondant. Nous montrons que tout système ergodique d'entropie métrique positive est chaotique au sens de la mesure (même en un sens plus fort, i.e. {\rm uniformément}). Nous donnons enfin un exemple de système dynamique topologique d'entropie nulle qui présente pour l'une de ses mesures invariantes ergodiques un chaos mesuré uniforme.
24 pages