Relations de dépendance et intersections exceptionnelles (Dependence relations and exceptional intersections)

Abstract

This text is devoted to the following result, stemming out works of Bombieri, Masser, Zannier, and Maurin: Let $X$ be an complex algebraic (projective, connected) curve and let us consider $n$ rational functions $f_1,...,f_n$ on $X$ which are multiplicatively independent. The points $x$ of $X$ where their values $f_1(x),...,f_n(x)$ satisfy at least two independent multiplicative dependence relations form a finite set. We discuss the conjectural generalizations of this theorem (Bombieri, Masser, Zannier; Zilber; Pink) concerning the finiteness of points of a $d$-dimensional subvariety $X$ of a semiabelian variety $G$ which belong to an algebraic subgroup of codimension $>d$ of $G$, their relations with theorems of Mordell-Lang or Manin-Mumford type, and, in the arithmetic case, recent results in this direction (Habegger; Rémond; Viada). ----- Ce texte est consacré au résultat suivant, issus des travaux de Bombieri, Masser, Zannier et Maurin: Soit $X$ une courbe algébrique (projective, connexe) complexe et considérons $n$ fonctions rationnelles $f_1,...,f_n$ multiplicativement indépendantes sur $X$. Les points $x$ de $X$ où leurs valeurs $f_1(x),...,f_n(x)$ vérifient au moins deux relations de dépendance multiplicative indépendantes forment un ensemble fini. Nous discutons les généralisations conjecturales de ce théorème (Bombieri, Masser, Zannier; Zilber; Pink) concernant la finitude des points d'une sous-variété $X$ de dimension $d$ d'une variété semi-abélienne $G$ qui appartiennent à un sous-groupe algébrique de codimension $>d$ dans $G$, leurs relations avec les théorèmes de type Mordell-Lang ou Manin-Mumford et, dans le cas arithmétique, les résultats récents dans cette direction (Habegger; Rémond; Viada).

Séminaire Bourbaki, 63e année, 2010-11, Exposé n° 1032. In French