Sur la cohomologie à support des fibrés en droites sur les variétés symétriques complètes

Abstract

Let $X$ be a complete symmetric variety i.e. the wonderful compactification of a symmetric $G-$homogeneous space (where $G$ is a simply-connected semi-simple linear algebraic group). If $L$ is a line bundle over $X$ and if $C$ is a Bialynicki-Birula cell of codimension $c$ in $X$, then the Lie algebra $\mathfrak{g}$ of $G$ operates naturally on the cohomology group with support : $H_C^c(L)$. One gives here a necessary condition on the cell $C$ for that $\mathfrak{g}-$module have a finite dimensional simple subquotient. As applications one calculates the Euler-Poincaré characteristic of $L$ over $X$ and one estimates the higher cohomology group $H^d(X,L)$, $d\ge 0$, with exact formulae in some cases among which the case of the complete conic variety. -- Étant donné un groupe algébrique linéaire semi-simple G, on s'intéresse aux compactifications magnifiques des G?espaces homogènes symétriques. Si X est une telle compactification, si L est un fibré en droites G?linéarisé sur X et si C est une cellule de Bialynicki-Birula de X de codimension c, alors l'algèbre de Lie g de G opère naturellement sur le groupe de cohomologie à support Hc C (L). On donne ici une condition nécessaire, portant sur la cellule C, pour que ce g?module possède un sous-quotient simple de dimension finie. On en déduit une formule pour la caractéristique d'Euler-Poincaré de L sur X et une estimation (exacte pour certains cas dont celui de la variété des coniques complètes) des groupes de cohomologie supérieure Hd(X,L), d ? 0.