Un problème de type Yamabe sur les variétés compactes spinorielles compactes

Abstract

Let $(M,g,\si)$ be a compact spin manifold of dimension $n\ge 2$. Let ${\lambda }_1^{+}(\tilde{g})$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator in the metric $\tilde{g}\in [g]$ conformal to $g$. We then define $\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} λ_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $. We show that $0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$. %=\frac{n}{2} \om_n^{1 \over n}$.Wefindsufficientconditionsforwhichweobtainstrictinequality$\lamin(M,[g],\si) < \lamin(\mS^n)$.Thisstrictinequalityhasapplicationstoconformalspingeometry.-----Soit$(M,g,\si)$unevari\acute{e}t\acute{e}spinoriellecompactededimension$n \geq 2$.$\tilde{g} \in [g]$estunem\acute{e}triqueconforme\grave{a}$g$,Onnote$λ_1^+(\tilde{g})$lapluspetitevaleurpropre$>0$de{l}^{\prime }op\acute{e}rateurdeDiracdanslam\acute{e}trique$\tilde{g} \in [g]$conforme\grave{a}$g$.Ond\acute{e}finit$\lamin(M,[g],\si) = \inf_{\tilde{g} \in [g]} λ_1^+(\tilde{g}) \Vol(M,\tilde{g})^{1/n} $.Onmontreque$0< \lamin(M,[g],\si) \leq \lamin(\mS^n)$.$ On trouve des conditions suffisantes pour lesquelles on obtient l'inégalité stricte $\lamin(M,[g],\si) < \lamin(\mS^n)$. Cette inégalité stricte a des applications en géométrie spinorielle conforme.